Geometrie

Geometrie (Řek γεωμετρία; geo = země, metria = míra) vyvstával jako pole znalostí se zabývat prostorovými vztahy. Geometrie byla jeden z dvou polí pre-moderní matematika, jiné bytí studie o číslech. V moderní době, geometrická pojetí byla celková k vysoké úrovni abstrakce a složitosti, a byli vystaveni k metodám počtu a abstraktní algebry, tak tolik moderních odvětví pole je stěží rozeznatelné jako potomky časné geometrie. (Vidět oblasti matematiky a algebraické geometrie.)

Počátky geometrie

Nejdříve zaznamenané začátky geometrie mohou být stopovány k starověkému Egyptu (viz geometrie v Egyptě), starověké Indus údolí (viz Harappan matematika), a starověký Babylonia (vidí Babylonian matematiku) od asi 3000 BC. Brzy geometrie byla sbírka empiricky objevených principů ohledně délek, úhly, oblasti a hlasitosti, který byl vyvinut setkat se s nějakou praktickou potřebou v mapování, stavbě, astronomii a různých řemeslech. Mezi tito byli některé překvapivě důmyslné principy a moderní matematik by mohl být usilovně dán odvodit některé je bez použití počtu. Například, oba Egyptians a Babylonians byl vědomý verzí Pythagorovy věty o 1500 rokách před Pythagoras; Egyptians měl správný recept pro objem frustum pyramidy čtverce; Babylonians měl stůl trigonometrie.

Čínská kultura v této stejné časové periodě byla právě jak postupovala jako jeho současníci, tak to je pravděpodobné, že oni také měli pokročilou formu matematiky, ale žádné artefakty přežily od kterého my jsme mohli dozvědět se o tom. Toto může být částečně kvůli jejich časnému použití papíru, poněkud než hliněné cihly nebo kámen, k zaznamenávají jejich úspěchy.

Starověká indická geometrie (c. 3000 - 500 B.C.)

Harappan geometrie

Geometrie používaná v Indus Valley civilizaci severní Indie a Pákistán od asi 3000 B.C. byl právě jak postupoval jako jeho současníci v Egyptě a Mesopotamia, a většinou se vyvíjel v důsledku pokročilého městského plánování, který je evidentní od dokonalého mřížkového vzoru Harappa a Mohenjo-daro, který zahrnoval ulice vyložené v dokonalých pravých úhlech. Geometrie používaná touto časnou Harappan civilizací byla pro praktické prostředky, a byl primárně zaujatý váhami, měřítka a překvapivě pokročilý technologie cihly, který využil poměry. Poměr pro rozměry cihly 4: 2: 1 je dokonce dnes zvážil to optimální pro efektivní propojení. Velikosti cihly byly v dokonalém poměru 4: 2: 1. Desítkové váhy byly založené na poměrech 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, a 500, s každou jednotkou vážit přibližně 28 gramů, podobný unci angličtiny nebo řeckému uncia.

Mnoho z váh odkrytý byli produkováni v konečných geometrických tvarech (cuboid, barel, kužel, a válec ke jménu nemnoho) která současná znalost základní geometrie, včetně kruhu. Tato kultura také vytvořila umělecké vzory matematické přírody a tam je důkaz na řezbářských pracích že tito lidé mohli kreslit koncentrické a křížící se kruhy a trojúhelníky.

Dále k použití kruhů v dekoračním designu je znamení použití dvojkolových kočárů býčka, kola který může měli kovovou skupinu balenou okolo hrany. Někteří historici věří, že toto ukáže na majetek znalosti poměru délky obvodu kruhu a jeho průměr, a tak cení?.

V Lothal, tlustý prsten-jako objekt shellu najitý se čtyřmi štěrbinami každý ve dvou okrajích sloužil jako kompas k úhlům míry na rovných povrchách nebo v obzoru v násobkách 40 – 360 mír. Takové nástroje shellu byly pravděpodobně vynalezený k míře 8 – 12 celých částí obzoru a oblohy, vysvětlovat štěrbiny na nižších a horních okrajích. Archeologové zvažují toto jako důkaz Lothal experti dosáhli něčeho 2,000 roků před Řeky je připočítáno s děláním: 8 – 12 ohnout rozdělení obzoru a oblohu, stejně jako nástroj k úhlům míry a možná pozice hvězd, a pro účely navigace. Lothal přispívá jedním z tří měřících váh, které jsou integrované a lineární (jiní nalezený v Harappa a Mohenjodaro). Měřítko slonovinové kosti od Lothal má nejmenší-známé desítkové divize v Indus civilizaci. Měřítko je 6 mm tlustý, 15   mm široký a dostupná délka je 128   mm, ale jen 27 dokončení studia je viditelné přes 146   mm, vzdálenost mezi bytím vrypů dílkované stupnice 1.704   mm (malá velikost ukázat použití pro jemnější účely). Celková suma deset dokončení studia od Lothal je přibližný k angula v Arthashastra. Lothal řemeslníci vyžadovali péči zajistit trvanlivost a správnost váh kamene okraji otupení před leštěním. Lothal váha 12.184   gm je téměř se rovnat k egyptský Oedet 13.792   gm.

Vedic geometrie

Během Vedic období indické matematiky (c. 1500-500 B.C.), mnoho pravidla a vývoje geometrie jsou nalezení v Vedic pracích v důsledku požadované matematiky pro konstrukci náboženských oltářů. Tito zahrnují použití geometrických tvarů, zahrnovat trojúhelníky, obdélníky, čtverce, trapezia a kruhy, rovnocennost přes čísla a oblast, srovnat kruh a naopak, Pythagorova věta a seznam Pythagorean se trojnásobí zjistil algebraicky, a počítání? (správný k 2 desetinným místům).

V důsledku matematiky vyžadované pro konstrukci těchto oltářů, mnoho pravidla a vývoje geometrie jsou nalezení v Vedic pracích. To zahrnuje:

• Použití geometrických tvarů, zahrnovat trojúhelníky, obdélníky, čtverce, trapezia a kruhy.
• Rovnocennost přes čísla a oblast.
• Srovnat kruh a naopak.
• Pythagorean se trojnásobí zjistil algebraicky.
• Prohlášení Pythagorovy věty a numerického důkazu.
• Počítání?, s nejbližším bytím správný k 2 desetinným místům.

Lagadha (circa 1350-1200) byl pravděpodobně nejdříve známý matematik mít použitou geometrii a trigonometrii pro astronomii.

Yajnavalkya (9. století BC) klidný Shatapatha Brahmana, který obsahuje geometrické aspekty, zahrnovat několik výpočtů?, s nejbližším bytím správný k 2 desetinným místům (nejvíce přesná hodnota? upto ten čas), a dává pravidlo implikovat znalost Pythagorovy věty.

Sulba Sutras (#rquotePravidlo akordů#rquote v Vedic Sanskrit), který je jiné jméno pro geometrii, byl složen mezi 800 př.n.l. a 500 př.n.l. a apendixy k Vedas dávaly pravidla pro konstrukci náboženských oltářů. Sulba Sutras obsahovat první použití iracionálních čísel, kvadratické rovnice formy x² = c a sekyra² + bx = c, použití Pythagorovy věty a seznamu Pythagorean se trojnásobí zjistil algebraicky antedatování Pythagoras, geometrická řešení lineárních rovnic a množství geometrických důkazů. Tyto objevy jsou většinou výsledek stavby oltáře, který také vedl k prvním známým vypočítavostem pro druhou odmocninu 2, který byl správný k významný 5 desetinných míst.

Baudhayana (circa 800 př.n.l.) klidný Baudhayana Sulba Sutra, který obsahuje prohlášení Pythagorovy věty, geometrická řešení lineární rovnice v jediném neznáme, několik přiblížení? (nejbližší hodnotové bytí 3.114), spolu s prvním použitím iracionálních čísel a kvadratických rovnic sekyry forem² = c a sekyra² + bx = c, a počítání pro druhou odmocninu 2, který byl správný k významný pět desetinných míst.

Manava (circa 750 př.n.l.) klidný Manava Sulba Sutra, který obsahuje přibližné konstrukce kruhů od obdélníků a čtverce od kruhů, který dávat přibližné hodnoty?, s nejbližším hodnotovým bytím 3.125.

Apastamba (circa 600 př.n.l.) klidný Apastamba Sulba Sutra, který obsahuje metodu srovnat kruh, zvažuje problém dělení segment do 7 stejných částí, počítá druhá odmocnina 2 správný k pěti desetinným místům, řeší obecnou lineární rovnici, a také obsahuje numerický důkaz Pythagorovy věty, používat počítání oblasti. Historik Albert Burk prohlašuje, že toto bylo originální důkaz teoréma který Pythagoras kopíroval na jeho návštěvě do Indie.

Klasická řecká geometrie (c. 600 – 300 B.C.)

Pro starověké řecké matematiky, geometrie byla korunní klenot jejich věd, pravděpodobně vyvíjející se nezávisle na geometrii Inda, dosahovat úplnosti a dokonalosti metodologie že žádné jiné odvětví jejich znalostí dosáhlo. Oni rozšířili rozmezí geometrie k mnoha novým druhům čísel, křivek, povrchů a pevných látek; oni změnili jeho metodologii ze soudu-a-chyba k logické dedukci; oni uznali, že geometrie studuje “věčné formy” nebo abstrakce, které lékařské prohlídky objekty jsou jen přiblížení; a oni vyvinuli nápad “axiomatické teorie”, který, pro více než 2000 roků, byl pozorován být ideální vzor pro všechny vědecké teorie.

Thales a Pythagoras

Thales (635-543 B.C.) Miletus (nyní v jihozápadním Turecku), byl první ke komu odečtení v matematice je přisuzováno. Je jich tam pět geometrické problémy pro kterého on psal deduktivní důkazy, ačkoli jeho důkazy nepřežily. Pythagoras (582-496 B.C.) Ionie, a pozdnější, Itálie, pak kolonizovaný Řeky, smět byli student Thales, a cestoval do Babylon a Egypt. Teorém, který nosí jeho jméno nebyl jeho objev, ale on byl pravděpodobně jeden první dávat deduktivní důkaz toho. On sbíral skupinu studentů kolem něj k matematice studia, hudbě a filozofii a spolu oni objevili většinu z čeho středoškolští studenti učí se dnes v jejich kursech geometrie. Navíc, oni dělali hluboký objev nesouměřitelných délek a iracionálních čísel.

Platón

Plato (427-347 B.C.), filozof nejvíce vážil si Řeky, napsal nad vstupem do jeho vyhlášené školy, “nechal žádného neznalý geometrie vstoupit tady.” Ačkoli on nebyl matematik sám, jeho pohledy na matematiku měly velký vliv. Matematici tak přijímali jeho víru, že geometrie by měla používat žádné nástroje ale kompas a straightedge – nikdy měřit nástroje takový jako označené pravítko nebo úhloměr, protože tito byli dělník je nástroje, nehodný učence. Tento výrok vedl k hluboké studii o možném kompasu a straightedge stavby a tři klasické stavební problémy: jak používat tyto nástroje roztrojit úhel, budovat kostku dvakrát objem dané kostky, a budovat čtverec stejný v oblasti k danému kruhu. Důkazy nemožnosti těchto staveb, konečně dosažený v 19. století, vedl k důležitým principům pozorovat hlubokou strukturu systému reálného čísla. Aristotle (384-322 B.C.), Platův největší žák, napsal pojednání na metodách úvahy používané v deduktivních důkazech (vidět logiku) který nebyl podstatně zlepšený na až do 19. století.

Hellenistic geometrie (c. 300 B.C - 500 C.E.)

Eukleidés

Euclid (c. 325-265 B.C.), Alexandrie, je pravděpodobně jeden ze studentů Plata, napsal pojednání ve 13 knihách Prvky geometrie, ve kterém on představoval geometrii v ideální axiomatické formě, který přišel být známý jako Euclidean geometrie. Pojednání není výtah celá ta Hellenistic matematici věděli to v té době o geometrii; Euclid sám psal osm pokročilejších knih o geometrii. My víme to od jiných odkazů že Euclid je byl ne první základní geometrie učebnice, ale to bylo tolik nadřazený to jiní upadali do nepoužívání a byli ztraceni. On byl přinesen k univerzitě u Alexandrie Ptolemy já, král Egypta.

Elementy začal definicemi požadavků, základní geometrické principy (nazvaný axiómy nebo postuláty), a obecné kvantitativní principy (nazvaný obyčejné pojmy) od kterého celý zbytek geometrie mohl být logicky odvozen. Následovat je jeho pět axiómů, poněkud parafrázoval usnadnit angličtinu číst.

1. Každé dva body mohou být spojeny přímnkou
2. Nějaká konečná přímá linka může být rozšířena v rovné řadě.
3. Kruh může být kreslen s nějakým centrem a nějakým poloměrem.
4. Všechny pravé úhly jsou stejné s každým jiný.
5. Jestliže dvě přímky v letadle jsou překročeny další přímkou (nazvaný průsečný), a vnitřní úhly mezi dvěma linkami a průsečným lhaním na jedné straně průsečný sčítat k méně než dva pravé úhly, pak na té straně průsečný, dvě linky se prodlužovaly bude protínat (také nazýval protějšek postulátem).

To bylo brzy pozorováno, a ne pochybovat o Euclidovi sám věděl to, že jeho pátý axióm mohl být nahrazený kratším sdělením “daný linka a bod ne v spojení, tam je jen jedna linka přes daný bod a ve stejném letadle s danou linkou to neprotíná danou linku.” Toto je nazýváno Playfair axiómem, po britském učiteli kdo chystal se dělat nahrazení ve všech učebnicích školy.

Axiómy, podle Plata, should být jednoduché a samozřejmé principy, tak jasně pravdivý že oni potřebují žádný důkaz. Euclid je nejprve čtyři axiómy splní toto kritérium, ale pátý, dokonce jestliže nahrazený Playfair axiómem, je ne jednoduchý, a nejvíce by říkal nesamozřejmý jako první čtyři. Pátý podobal se více teorémy že Euclid ukázal se jako od axiómů. Dále, Euclid vyvinul jeho většinovou část teorie trojúhelníků bez používání Fifth axióm. Spekulování vyvstávalo, pravděpodobně během celého života Euclida, to Fifth axióm může a should být dokázaný jako teorém od začátku čtyři, a tak je zbytečný jako axióm. Tak začal mnoho století pokusů ukázat se jako Fifth axióm a otázka byli ne usadil se až do 19. století.

Archimédés

Archimedes (287-212 B.C.), Syrakus, Sicílie, když to bylo řecké město-stát, je často zvažován být největší matematiků Řeka, a občas dokonce pojmenovaný jak jeden tři největší celého času (spolu s Isaacem Newtonem a Carl Friedrich Gauss). Měl on ne been matematik, on by ještě byl připomínán jako velký fyzik, inženýr a vynálezce. V jeho matematice, on vyvinul metody velmi podobné souřadnicovým soustavám analytické geometrie a omezenému procesu integrálního počtu. Jediné elementové chybění pro vytvoření těchto polí bylo účinný algebraický zápis ve kterém vyjádřit jeho pojetí.

Archimedes sledoval Eudoxian metody napsat geometrická řešení. Jedno řešení oblasti a objem paraboly používali zlomky jednotky, forma pečlivé aritmetické notace, která byla vytvořila Egyptians 1,700 roků dříve. Zlomek jednotky spojení mezi Archimedes metodou lávkování parabola do malých kusů, vytvářet první formu počtu, jak daný důkazem (známý Djkerstuis)

4A/3 = +/3 +/12

a, jeho 1/4th geometrický nekonečné řady se tvoří

4A/3 = +/4 +/16 +/64 +... / (4n) +...

Moskva matematický papyrus, datovat se k 2,000 BCE také krájel oblast komolého jehlanu, přesně nacházet jeho oblast, jak Archimedes později platil tím, že následuje Eudoxian 1/4th geometrickou řadu, a se ukazovat jako jeho výsledek jednotkou aritmetika zlomku.

Po Archimedes

Po Archimedes, Hellenistic matematika začala klesat. Tam byl nemnoho menších hvězd přesto přijít, ale zlatý věk geometrie byl u konce. Proclus (410-485), autor Komentář k prvnímu svazku Euclida, byl jeden z posledních důležitých účastníků Hellenistic geometrie. On byl schopný geometr, ale více důležitě, on byl nádherný komentátor na pracích, které předcházely jej. Hodně z toho práce nepřežila k moderní době, a je známý nám jediný přes jeho komentář. Římská republika a Říše, která následovala a absorbovala řecké město-státy produkovaly vynikající inženýry ale žádné matematiky poznámky.

Velký Library Alexandrie byla později spálená. Tam je rostoucí souhlas mezi historiky to Library Alexandrie pravděpodobný trpěl několika destruktivními událostmi, ale že zničení Alexandrie je chrámy pohana v pozdě 4. století bylo pravděpodobně nejhroznější a finální jeden. Důkaz pro to ničení je nejkonečnější a bezpečný. Caesarova invaze může dobře vedli ke ztrátě některých 40,000 - 70,000 rolování ve skladišti přilehlém k přístavu (jako Luciano Canfora argumentuje, oni byli pravděpodobné kopie produkovaly Library určený exportu), ale to je nepravděpodobné k ovlivnili Library nebo muzeum, daný to tam je bohatý důkaz že oba existovali později.

Občanské války, klesající investice do údržby a získání nových svitků a obecně klesajícího zájmu na non-náboženská pronásledování pravděpodobný přispěl ke snížení skupiny dostupného materiálu v knihovně, obzvláště ve čtvrtém století. Serapeum byl jistě zničen Theophilus v 391, a muzeum a knihovna mohou mít padlou oběť ke stejné kampani.

Islámská geometrie (c. 700 - 1500)

Islámský Caliphate (islámská Říše) založila přes Střední východ, severní Afrika, Španělsko, Portugalsko, Afghánistán a části Pákistánu, začal asi 640 CE. Islámská matematika během tohoto období byla primárně algebraická spíše než geometrický, ačkoli tam byly důležité práce na geometrii. Stipendium v Evropě klesalo a nakonec Hellenistic práce starověku byly ztraceny k nim, a přežil jediný v islámských centrech učení.

Ačkoli muslimští matematici jsou nejvíce známí jejich prací na algebře, teorií čísel a číselnými systémy, oni také dělali značné příspěvky ke geometrii, trigonometrii a matematické astronomii, a byl zodpovědný za vývoj algebraické geometrie. Geometrické veličiny byly zpracované jako “algebraické objekty” nejvíce muslimskými matematiky nicméně.

Nástupcové Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī (narozený 780) se ujal systematické aplikace aritmetiky k algebře, algebra k aritmetice, oba k trigonometrii, algebře k Euclidean teorii čísel, algebře ke geometrii a geometrii k algebře. Toto bylo jak vytvoření algebry polynomial, analýza combinatorial, numerická analýza, numerické řešení rovnic, nová základní teorie čísel a geometrická konstrukce rovnic vyvstávali.

Al-Mahani (narozený 820) dostal nápad redukčních geometrických problémů takový jak kopírovat kostku k problémům v algebře. Al-Karaji (narozený 953) kompletně vysvobodil algebru od geometrických operací a nahradil je aritmetickým druhem operací, které jsou u jádra algebry dnes.

Thabit ibn Qurra

Ačkoli Thabit ibn Qurra (narozený 836) přispěl k množství oblastí v matematice, kde on hrál důležitou roli v vytýčení cesty pro takové důležité matematické objevy jako rozšíření představy o čísle k (pozitivním) reálným číslům, integrální počet, teorémy v sférické trigonometrii, analytická geometrie a non-Euclidean geometrie. V astronomii Thabit byl jeden z prvních reformátorů Ptolemaic systému a v mechanice on byl zakladatel statics.

Důležitá geometrická stránka Thabit práce byla jeho kniha o složení poměrů. V této knize, Thabit se zabývá aritmetickými operacemi aplikovanými k poměrům geometrických kvantit. Řeci se zabývali geometrickými kvantitama ale nemyslel na je ve stejné cestě jako čísla ke kterému obvyklá pravidla aritmetiky mohla být aplikována. Tím, že představí aritmetické operace na kvantitách předtím pokládaný jak geometrický a nenumerický, Thabit zahájil trend který vedl nakonec k zevšeobecňování pojetí čísla.

V některých respektuje, Thabit je kritický vůči myšlenkám na Plata a Aristotle, zvláště pozorovat pohyb. To by se zdálo, že tady jeho nápady jsou založené na souhlasu s použitím argumentů ohledně pohybu v jeho geometrických argumentech.

Po Thabit ibn Qurra

Ibrahim ibn Sinan (narozený 908), kdo představil metodu integrace více generála než to Archimedes, a al-Quhi (narozený 940) vedli čísla do obnovy a pokračování řecké vyšší geometrie v islámském světě. Tito matematici, a zvláště al-Haytham, studoval optiku a vyšetřoval optické vlastnosti zrcadel vyrobených z řezů kuželem.

Astronomie, čas-udržování a geografie poskytovali jiné motivations geometrickému a trigonometrical výzkumu. Například Ibrahim ibn Sinan a jeho dědeček Thabit ibn Qurra oba studovali požadované křivky v konstrukci slunečních hodin. Abu'l-Wafa a Abu Nasr Mansur oba aplikovali sférickou geometrii k astronomii.

Omar Khayyám

Omar Khayyám (narozený 1048) byl perský matematik, stejně jako básník. Spolu s jeho slávou jako básník, on byl také slavný během jeho celého života jako matematik, dobře známý pro vynalezení obecné metody vyřešení kubických rovnic tím, že protíná parabolu s kruhem. Navíc on objevil binomický rozvoj a napsané kritiky Euclidových teorií protějšků, které udělaly jejich cestu do Anglie, kde oni přispěli k eventuálnímu vývoji non-Euclidean geometrie. Omar Khayyam také kombinoval použití trigonometrie a teorie přiblížení poskytovat metody vyřešení algebraických rovnic geometrickými prostředky. On byl většinou zodpovědný za vývoj algebraické geometrie.

V papíru napsaném Khayyam před jeho slavnou algebrou text Pojednání o demonstraci problémů algebry, on rozpozná problém: Najít bod na kvadrantu kruhu v takovém způsobu to když normální je spadl z důvodu k jednomu bounding poloměry, poměr normální je délka k tomu poloměru se rovná poměru částí určených nohou normální. Khayyam ukáže, že tento problém je ekvivalentní k vyřešení druhého problému: Najít pravoúhlý trojúhelník mít vlastnost že přepona se rovná sumě jedné nohy plus výšky na přeponě. Tento problém podle pořadí vedl Khayyam vyřešit kubickou rovnici x³ + 200x = 20x² + 2000 a on našel pozitivní kořen toto krychlový tím, že zvažuje křižovatku obdelníkového hyperbola a kruh. Přibližné numerické řešení bylo pak nalezené vložením v trigonometrických stolech. Snad dokonce významnější je skutečnost, že Khayyam řekne to řešení tohoto krychlový vyžaduje použití řezů kuželem a to to nemůže být řešeno kompasem a straightedge, výsledek, který nebyl by ukázal se jako pro jiného 750 roků.

Jeho Pojednání o demonstraci problémů algebry obsahoval kompletní klasifikaci kubických rovnic s geometrickými řešeními najitými prostředky k křížícím se řezům kuželem. Ve skutečnosti Khayyam udělá zajímavý historický záznam ve kterém on prohlašuje, že Řeci opustili nic na teorii kubických rovnic. Opravdu, jak Khayyam píše, příspěvky časnějšíma spisovateli takový jak al-Mahani a al-Khazin měl překládat geometrické problémy do algebraických rovnic (něco který byl nezbytně nemožný před prací Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī). Nicméně, Khayyam sám se zdá k byli první vymyslet obecnou teorii kubických rovnic.

V Komentáře k těžkým postulátům Euclidovy knihy Khayyam dělal příspěvek k non-Euclidean geometrie, ačkoli toto nebylo jeho záměr. V snažit se ukázat se jako paralelní postulát on náhodně dokázané vlastnosti čísel v non-Euclidean geometries. Khayyam také dával důležité výsledky na poměrech v této knize, rozšiřovat Euclidovu práci zahrnovat rozmnožování poměrů. Důležitost Khayyam příspěvku je že on zkoumal oba Euclidova definice rovnosti poměrů (který bylo to nejprve navrhováno Eudoxus) a definice rovnosti poměrů jak navrhoval dříve islámskými matematiky takový jak al-Mahani který byl založený na řetězových zlomkách. Khayyam dokázal, že dvě definice jsou rovnocenné. On také položil otázku zda poměr může být považován za číslo ale listy otázka unanswered.

Sharafeddin Tusi

Perský matematik Sharafeddin Tusi (narozený 1135) nenásledoval celkový vývoj, který prošel al-Karaji má školu algebry ale poněkud následoval Khayyam aplikaci algebry ke geometrii. On napsal pojednání na kubických rovnicích, který reprezentuje základní příspěvek k další algebře, která mířila ke křivkám studia prostředky k rovnicím, tak uvádět studii algebraické geometrie.

17. století

Když Evropa začala se vynořit z jeho Dark věků, Hellenistic a islámské texty na geometrii nalezené v islámských knihovnách byly přeložené z arabštiny do latiny. Pečlivé deduktivní metody geometrie nalezené v Euclidovi Prvky geometrie byli relearned a další vývoj geometrie ve stylech obou Euclid (Euclidean geometrie) a Khayyam (algebraická geometrie) pokračovala, končit množstvím nových teorémů a pojetí, mnoho z nich velmi hluboký a elegantní.

V brzy 17. století, byly tam dva důležité vývoje v geometrii. První a nejdůležitější bylo vytvoření analytické geometrie nebo geometrie s osami a rovnicemi, Rene Descartes (1596-1650) a Pierre de Fermat (1601-1665). Toto byla nutná předzvěst vývoje počtu a přesné kvantitativní vědy fyziky. Druhý geometrický vývoj tohoto období byl systematické pozorování geometrie projective Girard Desargues (1591-1661). Projective geometrie je studie o geometrii bez měření, jen studium jak body se ztotožní spolu navzájem. Tam bylo nějaké rané dílo v této oblasti Hellenistic geometry, pozoruhodně Pappus (c. 340). Největší rozkvět pole nastal s Jeanem-Victor Poncelet (1788-1867).

V pozdní 17. století, počet byl vyvinut nezávisle a téměř současně Isaac Newton (1642-1727) a Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Toto byl začátek nového pole matematiky nyní volala analýza. Ačkoli ne sám odvětví geometrie, to je vhodné ke geometrii a to řešilo dvě rodiny problémů, které dlouho byly téměř nepoddajné: nálezové tangentové linky ke zvláštním křivkám a oblasti nálezu vložili těmi křivkami. Metody počtu redukovaly tyto problémy většinou k jednoduchým záležitostem počítání.

18. a 19. století

Non-Euclidean geometrie

Staří problém zkušební Euclid je pátý postulát, “paralelní postulát”, od jeho nejprve čtyři postuláty nikdy byly zapomenuty. Začínat ne dlouho po Euclidovi, mnoho nepodařených demonstrací bylo dáváno, ale všichni byli později najiti být vadný, přes dovolení do úvahy nějaký princip který sám nebyl dokázaný od prvních čtyř postulátů. Ačkoli Omar Khayyám byl také neúspěšný v se ukazovat jako paralelní postulát, jeho kritiky Euclidových teorií protějšků a jeho důkaz vlastností čísel v non-Euclidean geometries přispěl k eventuálnímu vývoji non-Euclidean geometrie. 1700 skvělá dohoda byla objevená o co může být dokázané od začátku čtyři, a co léčky byly v pokoušet se ukázat se pátý. Saccheri, Lambert, a Legendre každý dělal vynikající práci na problému v 18. století, ale ještě postrádal úspěch. V brzy 19. století, Gauss, Johann Bolyai, a Lobatchewsky, každý nezávisle, vykonal různý přístup. Začínat podezřívat to to bylo nemožné se ukázat jako Parallel postulát, oni vyrazili se vyvíjet self-souhlasná geometrie ve kterém ten postulát byl nepravdivý. V tomto oni byli úspěšní, tak vytvářet první non-Euclidean geometrie. 1854, Bernhard Riemann, student Gauss, aplikoval metody počtu v průkopnickém studiu vnitřní (samostatná) geometrie všech hladkých hladin, a proto našel různý non-Euclidean geometrie. Tato práce Riemann později stala se základní pro Einstein teorii relativity.

To zbývalo ukázat se matematicky to non-Euclidean geometrie byla právě jak self-shodný jako Euclidean geometrie, a toto bylo nejprve provedené Beltramiem v 1868. S tímto, non-Euclidean geometrie byla založena na se rovnat matematické pozici s Euclidean geometrií.

Zatímco to bylo nyní známé to různé geometrické teorie byly matematicky možné, otázka zůstala, “který jeden z těchto teorií je správný pro náš fyzický prostor?” Matematická práce ukázala, že tato otázka musí být odpověděl fyzickým experimentováním, ne matematická úvaha, a odkryl důvod proč experimentování musí zahrnout ohromný (interstellar, ne pozemský) vzdálenosti. S vývojem teorie relativity ve fyzice, tato otázka stala se obrovsky komplikovanější.

Zavedení matematické přísnosti

Celá práce příbuzná paralelnímu postulátu ukázala, že to bylo docela obtížné pro geometra oddělit jeho logické uvažování od jeho intuitivního chápání fyzického prostoru, a, navíc, ukázal kritický význam dělání tak. Důkladná prohlídka odkryla některé logické nepřiměřenosti v úvaze Euclida a některých nevyjádřených geometrických principech ke kterému Euclid někdy apeloval. Tento posudek se vyrovnal krizi se vyskytovat v počtu a analýze pozorovat význam nekonečných procesů takový jako sbližování a souvislost. V geometrii, tam byla jasná potřeba nového souboru axiómů, který by byl kompletní, a který nikdy se spoléhal na obrazy, které my kreslíme nebo na naší intuici prostoru. Takové axiómy byly dány Davidem Hilbertem v 1894 v jeho disertaci Grundlagen der Geometrie (Založení geometrie). Některé jiné kompletní soubory axiómů byly dané nemnoho roků dříve, ale neodpovídal si Hilbert je v ekonomice, eleganci a podobnosti s Euclidovými axiómy.

Situs analýzy nebo topologie

V střední-18. století, to stalo se zjevné, že jisté průběhy matematické úvahy se vracely, když podobné nápady byly studovány na číselném příjmu, ve dvou rozměrech, a ve třech rozměrech. Tak obecná představa metrického prostoru byla vytvořena tak že úvaha mohla být dělána ve více všeobecnosti, a pak platil o zvláštních případech. Tato metoda počtu studování - a analýza-příbuzná pojetí přišla být známý jako analýza situs, a pozdnější jako topologie. Důležitá témata na tomto poli byla vlastnosti více čísel generála, takový jako connectedness a hranice, spíše než vlastnosti mají rád přímost a přesnou rovnost délky a měření úhlu, který byl ohnisko Euclidean a non-Euclidean geometrie. Topologie brzy se stala odděleným polem hlavní důležitosti, spíše než náhradník-pole geometrie nebo analýzy.

20. století

Rozvoje v algebraické geometrii zahrnovaly studii křivek a povrchy přes konečná pole, spíše než skutečná nebo komplexní čísla. Konečná geometrie sám, studie o prostorech s jediným finitely mnoho bodů, nacházel aplikace v teorii kódování a kryptografii. Pro některé vlastnosti jednoho z nejmenších konečných prostorů, 3-rozměrný projective prostor přes dva-pole elementu, vidět teorém diamantu. S příchodem počítače, nové disciplíny taková jak výpočetní geometrie nebo digitální geometrie se zabývají geometrickými algoritmy, jednotlivé reprezentace geometrických dat, a tak dále.